课程笔记 - General Physics II W5-6

静电能和电介质

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静电能

两个距离为 $d$ 的点电荷 $q_1,q_2$ 间存在电势能

$$U=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 d},$$

这个能量实际上描述了我们为了把两个电荷分离开（使得它们的距离为无穷远）所需要做的功（为 $-U$）。我们可以把这个概念推广到一般电荷系统上。

考虑 $k$ 个点电荷 $q_1,\ldots,q_k$，为了计算上述功，我们可以把点电荷依次从无穷远处”拿来”，然后计算拿每个电荷需要的功，也就是

$$U=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{i-1}\dfrac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0 d_{ij}}.$$

根据上述式子的对称性，记 $\varphi_i=\sum_{j\ne i}\varphi_{ji}$，其中 $\varphi_{ji}$ 是 $q_j$ 在 $q_i$ 处产生的电势，则有

$$U=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^k \varphi_iq_i.$$

对于连续的情形，则有

$$U=\dfrac{1}{2}\int \varphi\mathrm dq.$$

注意，这里 $\varphi$ 也是其他点对这一点的总电势。不过如果分布是连续的，那么自己对自己的贡献应该是 $0$（至少体分布和面分布是对的，而线分布和点电荷一样是一种很奇怪的情况，理论上势和能量不存在的情况），所以也可以理解成就是这一点的电势。

再看导体。因为导体表面是等势的，所以有

$$U=\dfrac{1}{2}\varphi Q.$$

还有另一种计算静电能的方法。也就是强行一个个把电荷拿来，可以表示成

$$U=\int_0^Q \varphi(q)\mathrm dq.$$

这其实是个不严谨的符号，但意思就是 $\varphi(q)$ 表示只拿到 $q$ 之前这些电荷时 $q$ 处的电势，其实就是因为本身只算了一半，所以去掉了前面的 $\dfrac{1}{2}$。

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电介质

之前我们讨论过了导体，现在来讨论一下绝缘体。绝缘体表面甚至内部也能带电，但它们不是由自由电子产生的，而是有原子或分子的极化产生的，这会形成一个电偶极矩。

例如，水分子是极性分子。一般情况下水是中性的，这是因为大量水分子的角度是随机的，所以宏观上正负电荷中心的统一的；但如果施加一个外电场，水分子可能会全部旋转到一个相同的角度，此时每个水分子的电偶极矩都是同一个方向的，加起来就形成了宏观上的一个电偶极矩。

在某一点处，极化形成的电偶极矩的密度称为电极化强度 $\mathbf P$，这是一个矢量。现在考虑计算极化形成的净电荷。考虑一个闭合曲面 $\Sigma$，利用高斯公式，其内部 $\Omega$ 的净电荷量为

$$Q_{pol}=-\oint_{\Sigma} \mathbf P\cdot \mathrm d\mathbf S=-\int_{\Omega}\nabla\cdot \mathbf P\mathrm dV.$$

另一方面

$$Q_{pol}=\int_{\Omega}\rho_{pol}\mathrm dV.$$

因此就有

$$\rho_{pol}=-\nabla\cdot\mathbf P.$$

对比 $\rho=\nabla\cdot(\varepsilon_0 \mathbf E)$，我们可以认为 $\mathbf P$ 是一个和 $\mathbf E$ 比较类似的东西。利用极化电荷的性质，就像导体表面的电场与面密度的关系一样，我们可以得到极化面密度等于极化强度在垂直方向的分量，即 $\sigma_{pol}=\mathbf P\cdot \mathbf n$（只需用一下高斯定律即证）。

实验表明，在电场 $\mathbf E$ 不太大的情况下，电介质的极化强度与 $\mathbf E$ 成正比，即 $\mathbf P=\chi\varepsilon_0\mathbf E$，这里的系数 $\chi$ 称为极化率。

现在我们把电荷分成两部分，一部分是自由电荷 $Q_{free}$，一部分是极化电荷 $Q_{pol}$，它们的总和称为 $Q_{tot}$。我们之前研究的静电场都是 $Q_{pol}=0$ 的情形，那时我们有

$$\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho_{tot}}{\varepsilon_0}=\dfrac{\rho_{free}}{\varepsilon_0}\\ \nabla\times\mathbf E=\mathbf 0\end{cases}.$$

现在关于总电荷的部分仍然正确，但是这并不能帮我们直接通过自由电荷的分布来解方程。重新考虑散度方程，我们有

$$\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho_{tot}}{\varepsilon_0}=\dfrac{\rho_{free}+\rho_{pol}}{\varepsilon_0}=\dfrac{\rho_{free}}{\varepsilon_0}-\dfrac{\nabla\cdot \mathbf P}{\varepsilon_0}.$$

总电荷中关于极化电荷的那部分用 $\mathbf P$ 表示了，那么关于自由电荷的那部分我们就用另一个量来表示，这就是电位移矢量，它的定义是

$$\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P.$$

于是我们就有电介质中的静电场方程

$$\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf D=\rho_{free}\\ \nabla\times\mathbf E=\mathbf 0\end{cases}.$$

对 $\mathbf D$ 稍加计算，有

$$\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\chi\varepsilon_0\mathbf E=(1+\chi)\varepsilon_0\mathbf E=\varepsilon_r\varepsilon_0\mathbf E=\varepsilon\mathbf E.$$

其中 $\varepsilon_r$ 称为相对（于真空的）介电常数，$\varepsilon$ 称为介电常数。例如，空气的相对介电常数为 $1.0006$。如果考虑导体的相对介电常数，由于导体内电场始终为零，所以可以认为 $\varepsilon_r=+\infty$。

最后补充一点，前面说了电介质内部也可能产生净电荷，但是事实上这只有在电介质内部存在自由电荷时才会发生，这可以根据高斯定律以及 $\mathbf P$ 和 $\mathbf E$ 的正比关系得到。即：介质内自由电荷密度为零，可以得到极化电荷密度为零。

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衔接条件

在两种介质交界面上，考虑怎么求 $\mathbf D,\mathbf E,\mathbf P$。

根据高斯公式，取一个包含交界面的薄圆柱，有

$$\sigma_{free} S=D_{2\perp}S-D_{1\perp}S\Longrightarrow D_{2\perp}-D_{1\perp}=\sigma_{free}.$$

其中 $D_{\perp}$ 是电位移的法向分量。特别地，当交界面无自由电荷，即 $\sigma_{free}=0$ 时，$D_{2\perp}=D_{1\perp}$。

再取一个垂直于交界面的很窄的矩形框 $\gamma$，根据旋度公式有：

$$\oint_{\gamma}\mathbf E\cdot \mathrm d\mathbf l=E_{2t}-E_{1t}=0.$$

其中 $E_t$ 是电场的切向分量，我们有 $E_{2t}=E_{1t}$。

也就是说，如果交界面上无自由电荷，那么在交界面处电位移 $\mathbf D$ 的法向分量连续，而电场 $\mathbf E$ 的切向分量连续。这是解电介质交界面的衔接条件。

详细讨论一下交界面上电荷情况。前面已经根据高斯定律得到了 $D_{2\perp}-D_{1\perp}=\sigma_{free}$，而基于同样的方法我们可以得到 $E_{2\perp}-E_{1\perp}=\dfrac{\sigma_{tot}}{\varepsilon_0}$，那么显然还有 $P_{2\perp}-P_{1\perp}=-\sigma_{pol}$。基于此，我们可以计算交界面上各种电荷的面密度。