课程笔记 - General Physics II W9

静磁学

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电流密度

运动的电荷产生磁场，磁场对运动的电荷有力的作用，具体来说，磁场力的形式为

$$\mathbf F=q\mathbf V\times\mathbf B.$$

其中 $\mathbf B$ 是磁场，这是一个和电荷的运动有关的量。为了定量描述它，我们引入电流密度这个概念。

在空间中某一点 $P$ 处，电荷运动有一个确定的方向 $\mathbf e_n$，设 $j$ 表示单位时间内通过单位面积的以 $\mathbf e_n$ 为法向量的截面的电荷通量，则 $\mathbf j(P)=j\mathbf e_n$ 称为 $P$ 点的面电流密度。

如果电荷运动局限在曲面 $\Sigma$ 上，对于 $\Sigma$ 上一点 $P$，电荷运动方向为 $\mathbf e_n$，设 $J$ 表示单位时间内通过单位长度的 $\mathbf e_n$ 垂线的电荷通量，则 $\mathbf J(P)=J\mathbf e_n$ 称为 $P$ 点的线电流密度。

如果电荷运动局限在曲线 $\gamma$ 上，对于 $\gamma$ 上一点 $P$，电荷运动方向必定为 $\mathrm d\mathbf l(P)$，单位时间内通过该点的电荷通量 $I$ 称为电流。有时我们也用 $\mathbf I$ 表示一个矢量，其方向与 $\mathrm d\mathbf l(P)$ 相同。

因此，$\mathbf j,\mathbf J,\mathbf I$ 分别对应了体、面、线中的电荷运动，可以将它们类比于电荷密度 $\rho,\sigma,\lambda$，这一点是重要的。

电流本身还描述了一种通量。例如，给定一个曲面 $\Sigma$，通量

$$I=\int_{\Sigma} \mathbf j\cdot \mathrm d\mathbf S$$

称为 $\Sigma$ 的电流。

下面我们根据电流密度，给出静磁学中磁场所满足的微分方程：

$$\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf B=0\\ \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j\end{cases}.$$

下面我们仿照静电场时的做法（https://www.luogu.com.cn/blog/ix-35/general-physics-ii-w2-electrostatics ）引入之后的内容。

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安培环路定理-旋度方程

对旋度方程用格林公式，考虑一个边界为 $\gamma$ 的曲面 $\Sigma$：

$$\oint_{\gamma}\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}(\nabla\times\mathbf B)\cdot\mathrm d\mathbf S=\mu_0\int_{\Sigma}\mathbf j\cdot\mathrm d\mathbf S=\mu_0I.$$

这个称为安培环路定理。

例子：用安培环路定理计算直导线中电流产生的磁场。根据对称性，磁场方向是切向的，且大小仅与到导线的距离有关，设为 $\mathbf B(\mathbf r)=B(r)\times \mathbf e_{\theta}$。

考虑轴为导线的半径为 $r$ 的圆，根据安培环路定理，

$$2\pi r\times B(r)=\mu_0 I.$$

因此

$$B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.$$

不过，这里的对称性似乎没有其在高斯定律的应用中展示地那么显然了，因为旋度相比散度来说是个更加抽象的东西。

在物理上，类似角动量、磁场这样的东西被称为轴矢量，与一般的向量即极矢量相对。轴矢量一般是极矢量叉乘得到的，例如 $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$（$\mathbf B$ 的显式表达可以看毕奥-萨伐尔定律）。我们将两个极矢量分解成沿镜面方向和垂直镜面方向的分量，$\mathbf a=\mathbf a_t+\mathbf a_n, \mathbf b=\mathbf b_t+\mathbf b_n$，考虑 $\mathbf c=\mathbf a\times \mathbf b=\mathbf c_t+\mathbf c_n$。我们有

$$\mathbf c_t=\mathbf a_t\times \mathbf b_n+\mathbf a_n\times \mathbf b_t,\quad \mathbf c_n=\mathbf a_t\times \mathbf b_t.$$

现在对空间施加一镜像变换，得到 $\mathbf a’=\mathbf a_t-\mathbf a_n, \mathbf b’=\mathbf b_t-\mathbf b_n$，此时再计算 $\mathbf c’=\mathbf a’\times \mathbf b’=\mathbf c’_t+\mathbf c’_n$，我们有

$$\mathbf c'_t=-(\mathbf a_t\times \mathbf b_n+\mathbf a_n\times \mathbf b_t),\quad \mathbf c'_n=\mathbf a_t\times \mathbf b_t.$$

因此，轴矢量经历镜像变换后平行分量取反，垂直分量不变，这和极矢量是恰好相反的。

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不详细的揭秘

这一段的正确性不太能保证。

想要知道上述现象的原因，就要回到其数学本质。为了直观起见，我们首先考虑比较熟悉的角速度 $\vec \omega$。

我们说速度是一个向量，或极矢量，是因为它只有一个方向，它定义在一条线上。而角速度就不同，一个旋转的物体确定了不止一条线，而是一个平面。这表示角速度比速度要更“复杂”一些。

现在假使我们忘记了学过的微积分 A(2)，单纯考虑我们需要几个量来描述一个 $n$ 维空间中的平面旋转——$n=2$ 时只需要一个量，因为旋转只有顺时针和逆时针两种，我们可以用正负区分它们，而量的绝对值就是角速度的大小；$n=3$ 时就是我们熟悉的角速度，它是一个有 $3$ 个分量的向量，而当我们细究三个分量 $\omega_x,\omega_y,\omega_z$ 分别代表什么的时候，我们会知道它们分别对应了旋转在 $y-z, z-x, x-y$ 平面上的投影。

因此，对于 $n$ 维空间，设其各个维度命名为 $x_1,\ldots,x_n$。我们将每一个向量（极矢量）$(c_1,\ldots,c_n)$ 映射到如下的东西：

$$\omega=\sum_{i=1}^n c_i\mathrm dx_i.$$

再将一个“角速度之类的东西”映射到如下的东西：

$$\omega'=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n u_{i,j}\mathrm dx_i\wedge \mathrm dx_j.$$

这样就完全符合我们的直觉了，即 $n$ 维空间中有 $\binom n 2$ 种线性无关的旋转，其中一组基就是由所有 $x_i-x_j$ 平面上的旋转组成的。

上面的 $\omega$ 这种形式叫做 $1$ 形式，$\omega’$ 则是 $2$ 形式，在三维空间中它们恰好都有三个分量，所以都可以对应到一个向量（场）。但是实际上它们是不一样的。你可以认为两个向量叉积之后得到的向量已经在另一个空间了，而不是原来两个向量所在的空间。不过如果再要具体解释叉积的话好像就需要张量分析的知识了。

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矢势-散度方程

既然 $\nabla\cdot\mathbf B=0$，我们就想到给它一个势能 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$。这个势能同样是一个向量场，我们称它为矢势。

为了方便，我们还要求 $\nabla\cdot\mathbf A=0$（因为光有旋度还不足以确定一个向量场）。下面考虑旋度方程

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A=\mu_0\mathbf j.$$

于是我们得到了

$$\nabla^2\mathbf A=\mu_0\mathbf j.$$

这和我们了解的泊松方程 $\nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0$ 很相似。所以说，从 $\rho$ 求解 $\phi$ 的过程和从 $\mathbf j$ 求解 $\mathbf A$ 的过程是完全一样的。因此我们只需要会静电学的方法，就可以做静磁学的题。只不过静电学里求完 $\varphi$ 后是求梯度得到 $\mathbf E$，而静磁学是求完 $\mathbf A$ 后求旋度得到 $\mathbf B$。

回想前面提到的三种电流密度，上面已经看到 $\mathbf j$ 对应 $\rho$，那么自然 $\mathbf J$ 对应 $\sigma$，而 $\mathbf I$ 对应 $\lambda$。点电荷没有对应，因为电流没办法在一个点上流。

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电场和磁场的狭义相对性

考虑这样一个问题：一根导线中通有电流 $I$，导线旁边有一个以平行于导线速度 $v$ 移动的点电荷 $q$。从导线参考系来看，运动的电荷受到磁场力，会发生垂直方向的运动；但是从电荷参考系来看，电荷是静止的不会受到磁场力，因此保持静止，这看似是一个矛盾。

这里需要用狭义相对论来解释。设 $S,S’$ 分别为导线参考系和电荷参考系。在 $S$ 中，导线内有正电荷分布 $\rho_+$ 和负电荷分布 $\rho_-$，且满足 $\rho_+=\rho_-$。我们假设正电荷不动 $v_+=0$，负电荷速度为 $v_-=v$（$v_-\ne v$ 的情况留做作业）。那么 $S$ 中 $q$ 仅受到磁场力，大小为

$$F=qvB=\dfrac{qv\mu_0I}{2\pi r}=\dfrac{qv\mu_0 v\rho_-A}{2\pi r}.$$

其中 $A$ 是导线截面积。下面我们要利用等式 $c^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}$，得到

$$F=\dfrac{q\rho_-A}{2\pi\varepsilon_0 r}\times\dfrac{v^2}{c^2}.$$

现在考虑参考系 $S’$，设正负电荷分布分别为 $\rho’_+,\rho’_-$，我们有 $v’_+=-v,v’_-=0$，根据洛伦兹变换和电荷量的相对不变性，我们有

$$\rho'_+\times A\times \sqrt{1-v^2/c^2}L=\rho_+\times A\times L\Longrightarrow \rho'_+=\dfrac{\rho_+}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

同理，

$$\rho_-\times A\times \sqrt{1-v^2/c^2}L=\rho'_-\times A\times L\Longrightarrow \rho'_-=\sqrt{1-v^2/c^2}\rho_-.$$

所以导线此时是带正电的，且线密度为

$$\lambda=(\rho'_+-\rho'_-)A=\dfrac{\rho_-Av^2/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

计算 $q$ 受到的电场力大小

$$F'=qE=q\times \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}=\dfrac{q\rho_-A}{2\pi\varepsilon_0 r}\times \dfrac{v^2}{c^2}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

我们发现 $F’$ 和 $F$ 并不相等，而是 $F’=\dfrac{F}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。这是因为 $S’$ 是 $q$ 的静止参考系，所以在 $S$ 中 $q$ 处事件的时间会拉长 $\sqrt{1-v^2/c^2}$ 倍，这恰好导致了 $F’\Delta t’=F\Delta t$，因此整个系统的行为在两个参考系下是一致的。

在导线参考系下 $q$ 只受到磁场作用，在 $q$ 参考系下 $q$ 只受到电场作用，这说明电场作用和磁场作用是可以在不同参考系下相互转换的。

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毕奥-萨伐尔定律

理论上还没讲。