课程笔记 - General Physics II W3-4

静电场——一些应用

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关于上节的一个解释

上节中我们提到，对于库仑力有

$$F\propto \dfrac{1}{r^{2+\delta}}\quad (|\delta|<10^{-15}).$$

这个 $\delta$ 实际上与光子静质量有关。光子静质量等于零等价于 $F\propto \dfrac{1}{r^2}$，这又等价于高斯定律成立。

在标准模型中有四种相互作用，每一种相互作用都需要一种玻色子（boson）作为媒介。

强相互作用 - 胶子（gluon）

弱相互作用 - Z 玻色子（Z bosons）

电磁相互作用 - 光子（photon）

引力相互作用 - 引力子（graviton）

作用的大小和作用距离都和相应的媒介粒子有关。

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离子阱

考虑一个任意的电场 $\mathbf E$，对于其中某个没有电荷的点 $p (\rho(p)=0)$，有没有可能在这个点上放一个电荷（以正电荷为例）后在没有其他力的情况下能达到稳定的平衡？

答案是否定的，因为稳定平衡意味着 $p$ 周围所有点的电场都指向 $p$，这表示 $\nabla\cdot p<0$，即 $\rho(p)<0$，矛盾。因此，如果我们要使得电荷稳定在 $p$ 点，就要采取以下两种方式之一：

1. 加上外力。例如将电荷放在一根细管中，这样它只能沿管的方向移动，我们可以控制电场沿管方向的稳定平衡。

2. 将静电场改为变化的电场。下面详细说明。

考虑在 $p$ 上下左右各放一个正电荷，现在上下左右四个方向都是稳定平衡的，但是比较斜的方向上是不稳定的；将上下左右的电荷改为负电荷，那么斜向是稳定平衡的，但是上下左右是不稳定的。于是我们通上交流电，使得上下左右的电荷不断在正负之间切换，在适当的情况下就可以保持稳定了。

上面所说的是平面上的情况，三维空间的情况是类似的，这个基本上就是离子阱的最基本原理（虽然实际上很复杂）。

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导体

导体内部有大量（足够多）可以自由移动的电荷，它的性质可以概括为：导体是一个等势体。这其实暗含了以下几点：

1. 导体的表面是一个等势面（因为电势处处相等）。

2. 导体内部电场为零，导体表面电场方向垂直于表面。

3. 导体内部没有净电荷，所有净电荷分布在表面。

考虑导体表面某一点 $p$，将 $p$ 附近的部分视作一个平面将会得到 $E_{\perp_1}(p)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，但我们还需要考虑导体其他部分在 $p$ 处的电场。考虑 $p$ 附近对 $p$ 处向内的电场，由于导体内部电场为零，所以其他部分在 $p$ 处的电场应该是向外的，且大小与 $p$ 附近的相同，因此考虑向外的电场时就需要乘个 $2$，即

$$E_{\perp}(p)=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

接下来我们考虑这样一个问题：如果在空间中有一些给定的电场分布，还有一个导体，那么导体中会出现感应电荷，如何求感应电荷的分布？如何求空间中任意一点在这个体系中的场强和电势呢？后者并不是一个简单的积分问题，因为它依赖于前者的求解。

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唯一性定理

我们介绍唯一性定理：如果一个空间区域 $\Omega$ 中电荷密度已知，且在边界 $\partial\Omega$ 上每一点都已知如下两种边界条件之一：电势 $\varphi$ 或电势沿 $\partial\Omega$ 的法向导数 $\dfrac{\partial\varphi}{\partial\mathbf n}$，那么 $\Omega$ 中的电场是唯一确定的。

证明：假设存在两种本质不同的电势（即相差不止一个常数） $\varphi’,\varphi’’$ 满足上述条件，考虑 $U=\varphi’-\varphi’’$。我们有泊松公式 $\Delta \varphi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$，由于 $\Omega$ 内电荷分布已知，所以 $\Delta U=\Delta \varphi’-\Delta \varphi’’=0$。

考虑格林第一公式

$$\int_{\Omega}(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v)\mathrm dV=\int_{\partial\Omega}u\dfrac{\partial v}{\partial \mathbf n}\mathrm dS.$$

带入 $u=v=U$，并利用 $\Delta U=0$ 和边界条件 $U=0$ 或 $\dfrac{\partial U}{\partial\mathbf n}=0$，得到

$$\int_{\Omega}(U\Delta U+(\nabla U)^2)\mathrm dV=\int_{\Omega}(\nabla U)^2\mathrm dV=0.$$

因此只有 $\nabla U=0$，即 $U$ 是常数，矛盾。因此唯一性定理成立。

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电像法

现在我们回到上面提出的问题。空间中有一定的固定电荷分布 $\rho$，还有若干个导体 $C_1,\ldots,C_k$，求空间中某一点处的电场。不妨认为要求的点 $P$ 在所有导体外（因为导体内电场为零）。

考虑全空间减去所有导体，设为 $\Omega$。令 $\Sigma_i$ 为 $C_i$ 的边界，那么 $\Omega$ 的边界就是所有的 $\Sigma_i$ 加上无穷远处。$\Omega$ 中的电荷分布 $\rho$ 已知，无穷远处边界条件是 $\varphi=0$ 已知，因此只要每个 $\Sigma_i$ 边界条件都确定，那么空间中电场就是唯一的。而 $\Sigma_i$ 的边界条件可以通过两种方式得到：

1. 已知 $C_i$ 的电荷量 $Q_i$（由此得到电场唯一性可以通过重新利用格林第一公式证明，是一道作业题）。

2. 已知 $C_i$ 的电势 $\varphi_i$（这就直接很多，就是我们前面提到的边界条件之一）。

那么如果满足唯一性条件，具体怎么求空间中（特别地，导体外）的电场呢？下面介绍电像法。

如果我们在导体 $C_i$ 内部加入一些虚拟的电荷，然后移除导体 $C_i$。若进行这一操作后原本 $C_i$ 的边界 $\Sigma_i$ 电势不变，那么求解 $\Omega$ 中电场时的边界条件就没有变化，同时电荷分布也没有变化（因为只有 $C_i$ 内的电荷分布发生变化，而这不属于 $\Omega$），根据唯一性原理，求解得到的电场不会变化。

这些虚拟的电荷被称为电像。

所以我们就把一个导体化成了一些已知分布的电荷，于是可以使用传统的积分方法求解电场和电势。

例：考虑一个接地的导电无穷大平面 $\Sigma$，平面附近有一个点电荷 $q$，求 $q$ 这一侧的空间电场分布。

解：用电像法。我们需要保证边界条件不变，即 $\Sigma$ 的电势为零。不难想到，在 $q$ 沿 $\Sigma$ 的轴对称点处放一个电荷 $-q$ 就能满足这一点。于是 $q$ 这一侧的电场就可以被等效为只有 $q,-q$ 两个点电荷的情况计算。

例：考虑一个接地的半径为 $R$ 的导体球，球外离球心距离 $a$ 处有一个点电荷 $q$，求球外电场分布。

解：用电像法。我们需要保证边界条件不变，即球壳电势为零。根据阿波罗尼斯球的理论，只要在 $q$ 沿球的反演点放一个电荷 $q_0=-\dfrac{Rq}{a}$ 就能满足这一点。于是这个 $q_0$ 就是要求电像。

修改 1：将导体球的电势（由 $0$）改为 $\varphi_0$。

修改 2：导体球不接地，但是限制其总电荷为 $Q$。

上述两个修改都可以通过在球心增加一个点电荷 $q’$ 作为电像解决。不难发现在球心放电荷不会影响球壳的等势性。对于修改 1，电荷量为 $q’=4\pi\varepsilon_0\varphi_0R$；对于修改 2，电荷量为 $q’=Q-q_0$。

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电荷系统的高阶小量

点电荷通常是对一个电荷系统最粗糙的近似，即假设整个系统的所有电荷集中在某一点上。当系统的尺度远小于要考虑问题的尺度时，点电荷确实是一个主项。但如果整个系统的净电荷为零，那么点电荷项就是零了，这时我们就需要考虑电荷系统的高阶小量。

将坐标系原点设在电荷系统 $\Omega$ 内，考虑 $\mathbf r$ 处的电势，有

$$\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\Omega}\dfrac{\rho(\mathbf r')}{\vert\mathbf r-\mathbf r'\vert}\mathrm dV.$$

其中 $\mathbf r’$ 是 $\Omega$ 内的任意一点，其到 $\mathbf r$ 的距离是 $|\mathbf r-\mathbf r’|$。

按我们的假设，$r’$ 远小于 $r$，所以我们对 $\dfrac{1}{\vert\mathbf r-\mathbf r’\vert}$ 在 $\mathbf r’\to \mathbf 0$ 时做泰勒展开，回顾多元函数的泰勒展开得到

$$\dfrac{1}{\vert\mathbf r-\mathbf r'\vert}=\dfrac{1}{r}-\mathbf r'\cdot \nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{2}\mathbf r'\mathbf r'^T\odot H(\dfrac{1}{r})+\cdots.$$

其中 $H(f)$ 表示 $f$ 的 Hesse 矩阵，即所有二阶偏导数组成的矩阵，$\odot$ 表示对应位置元素相乘相加。

将其带入 $\varphi(\mathbf r)$ 的计算，就有

$$\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\mathrm dV\cdot \dfrac{1}{r}-\int_{\Omega} \mathbf r'\rho(\mathrm r')\mathrm dV\cdot \nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{2}\int_{\Omega}\mathbf r'\mathbf r'^T\rho(\mathbf r')\mathrm dV\odot H(\dfrac{1}{r})+\cdots\right).$$

括号中的每一项对应泰勒展开中某个次数，$k$ 次项对应的加数有 $3^k$ 项。

第一项（$0$ 次项）就是我们熟悉的点电荷：

$$Q=\int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\mathrm dV.$$

第二项（$1$ 次项）称为电偶极矩：

$$\mathbf p=\int_{\Omega} \mathbf r'\rho(\mathrm r')\mathrm dV.$$

它是一个三维向量。对于一个中心对称的体系来说，$\mathbf p=0$，所以 $\mathbf p$ 可以用来衡量电荷分布的非中心对称性。

第三项（$2$ 次项）称为电四极矩：

$$D=\int_{\Omega}3\mathbf r'\mathbf r'^T\rho(\mathbf r')\mathrm dV\in M_{3\times 3}(\mathbb R).$$

它是一个 $3\times 3$ 矩阵。对于一个球对称的体系来说，$D=0$，所以 $D$ 可以用来衡量电荷分布的非球对称性。

以此类推，还可以定义电多极矩。

我们用一个比较魔怔的符号 $\nabla\nabla f$ 代替 $H(f)$，再用一个比较魔怔的符号 $:$ 代替 $\odot$，就可以得到一个看上去比较统一的式子：

$$\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(Q\dfrac{1}{r}-\mathbf p\cdot\nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{6}D:\nabla\nabla\dfrac{1}{r}+\cdots \right).$$

例子：净电荷非零的系统，$Q$ 是主项；水分子是极性分子，所以其中 $\mathbf p$ 是主项；二氧化碳分子是非极性分子，但不是球对称的，所以其中 $D$ 是主项。

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复势

考虑一个复变函数 $f(z)$，可以将其看作两个二元实变函数，即

$$f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y).$$

倘若 $f$ 在 $z_0$ 可微，即 $f’(z_0)=z’$ 存在。则我们有柯西-黎曼条件：

$$\begin{cases}\dfrac{\partial U}{\partial x}(z_0)=\dfrac{\partial V}{\partial y}(z_0)\\ \dfrac{\partial U}{\partial y}(z_0)=-\dfrac{\partial V}{\partial x}(z_0)\end{cases}.$$

证明：在 $x$ 方向逼近 $z_0$，得到

$$\begin{aligned} z'&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{U(x+\Delta x,y)+iV(x+\Delta x,y)-U(x,y)-iV(x,y)}{\Delta x}\\ &=\dfrac{\partial U}{\partial x}(z_0)+i\dfrac{\partial V}{\partial x}(z_0). \end{aligned}$$

在 $y$ 方向逼近 $z_0$，得到：

$$\begin{aligned} z'&=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{U(x,y+\Delta y)+iV(x,y+\Delta y)-U(x,y)-iV(x,y)}{i\Delta y}\\ &=\dfrac{\partial V}{\partial y}(z_0)-i\dfrac{\partial U}{\partial y}(z_0). \end{aligned}$$

对比实部和虚部就得到了柯西-黎曼条件。

没学过复分析就不多 bb 了。假设 $f$ 在 $z_0$ 解析，那么在柯西-黎曼条件中，将第一行对 $x$ 求导，第二行对 $y$ 求导，相加即得

$$\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(z_0)+\dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(z_0)=\dfrac{\partial^2 V}{\partial x\partial y}(z_0)-\dfrac{\partial^2 V}{\partial y\partial x}(z_0)=0.$$

同理，第一行对 $y$ 求导，第二行对 $x$ 求导，相减即得

$$\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}(z_0)+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}(z_0)=0.$$

于是，如果 $f$ 在（$x-y$ 平面中的） $D$ 上解析，那么 $U,V$ 在 $D$ 上就都是调和函数，此外还有

$$\nabla U\cdot \nabla V=\dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{\partial V}{\partial x}+\dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial V}{\partial x}\dfrac{\partial U}{\partial x}=0.$$

即 $\nabla U$ 和 $\nabla V$ 是正交的向量场。于是我们突发奇想，将 $\nabla V$ 看作电场，$\nabla U$ 看作等势能线。这样，我们就用一个复变函数 $f$ 表达了一个电场，$f$ 称为该电场的复势函数。

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保角变换

我们不禁要问，上面定义出的复势函数究竟有什么用？这里写一个与之相关的 trick。由于我是上网现学的，所以可能只会用，没有什么理解，就不写太多证明之类的了。

根据复变函数的知识，解析函数对应的变换是保角的。即考虑解析函数 $f(z)$ 代表的空间变换 $z\to f(z)$，则它会将原先空间中的一个角映射到新空间的一个等角。

从 $z$ 到 $f(z)$，可以直观地感受线元被拉伸了 $|f’(z)|$ 倍，面积被拉伸了 $|f’(z)|^2$ 倍。从而设原空间 $z$ 处的电荷密度为 $\sigma(z)$，那么新空间此处的密度就是 $\sigma’(f(z))=\dfrac{\sigma(z)}{|f’(z)|^2}$。此外，通过计算可以证明，新空间的拉普拉斯算子 $\Delta’$ 和原空间 $\Delta$ 满足关系 $\Delta’=\dfrac{1}{|f’(z)|^2}\Delta$（参考 https://www.bilibili.com/video/BV17J411Y7cV ），这和电荷密度的变换有一种同一性，于是泊松方程依然满足：

$$\Delta'(\varphi'(f(z)))=\dfrac{1}{|f'(z)|^2}\Delta(\varphi(z))=\dfrac{\sigma(z)}{|f'(z)|^2\varepsilon_0}=\dfrac{\sigma'(f(z))}{\varepsilon_0}.$$

这表明我们在静电场部分学习的知识在新空间里都能用，求出新空间的电势就等于原空间中相应点的电势。

例子：$f(z)=z^k$ 把一个大小为 $\dfrac{\pi}{k}$ 的角展成直线；$f(z)=e^z, f(z)=\ln z$ 可以将原点为圆心的圆和竖直线段互相转化。