科普文章 - 律制简介
规定音阶中每个音的具体音高的规则就是律制。
首先，我们需要一个绝对音高，也就是标准音，现代规定小字一组的 $\text a^1$ 为 $440\text{Hz}$，接下来只需要知道不同音之间的距离怎样得到即可。下面简要说明一下历史上存在的三种律制。
实践表明，当两个音的频率比接近简单整数比时，它们听上去是和谐的。因此描述音与音之间的距离要用频率比值而不是差值，为此我们定义两个频率分别为 $f_1,f_2 (f_1>f_2)$ 的音的距离如下，单位为音分：
例如，纯八度的两个音频率比为 $1:2$，因此听上去是最和谐的，其距离为 $1200$ 音分。
五度相生律
除了 $1:2$ 的频率比外最容易想到的整数比之一就是 $2:3$。我们定义频率比为 $2:3$ 的两个音的音程为纯五度。
设我们有一个频率为 $f$ 的基音（不妨就叫 $\text C$），则它向上纯五度就得到了频率为 $\dfrac{3}{2}f$ 的音 $\text G$，再向上纯五度得到频率 $\dfrac{9}{4}f$，但是它超过了 $2f$，所以我们将它除以 $2$ 得到 $\dfrac{9}{8}f$，这就是 $\text D$；接下来依次是 $\dfrac{27}{16}f$ 的 $\text A$，$\dfrac{81}{64}$ 的 $\text E$，$\dfrac{243}{128}f$ 的 $\text B$。
这样，我们就得到了除 $\text F$ 外所有我们熟悉的基本音级，而 $\text F$ 的定义特殊一些，它定义为 $\text C$ 向下纯五度得到的音，频率为 $\dfrac{4}{3}f$。
这样定义有可能的好处之一是 $\text C$ 到 $\text F$ 也是一个完美的比例 $\dfrac{4}{3}$，称之为纯四度。
现在我们就有了七个基本音级，以 $\text C$ 为起点依次升高为 $\text{CDEFGAB}$。
那么 $\text F$ 能不能也通过一直向上五度得到呢？事实上，一直向上五度重复十一次可以得到一个音 $\sharp E$，其频率为 $\dfrac{177147}{131072}f$，与 $\text F$ 很接近但不同。而如果在此基础上再加一个纯五度（共十二个纯五度）就来到了 $\sharp B$，频率为 $\dfrac{531441}{262144}f\approx 2.027f$，并不等同于下一组的 $\text C$（高了 $24$ 音分）。
至此我们发现，随着迭代次数的加大，五度相生律生成的音是可以无限增多的，总不会回到起点 $\text C$；不过它最大程度上的保证了一些特定的音之间频率为简单整数比。
因此，五度相生律的优点在于最大程度上保证了旋律的和谐性，但是缺点在于难以转调，因为一旦转调，大部分的音频率需要重新计算，不能用原有音名。
三分损益法
在五度相生律中我们通过 $\text C$ 首先依次得到了 $\text{G,D,A,E}$，这五个音在中国古代就分别叫做 宫、徵、商、羽、角。
由于它们的频率比依次是 $\dfrac{3}{2}$，所以在制作乐器时每次将弦长变为原来的 $\dfrac{2}{3}$ 就可以得到下一个音，也就是每次砍掉弦长的 $\dfrac{1}{3}$，所以叫三分损益法。
纯律
后来发现，五度相生律存在一个问题：在创作和声时表现出了不和谐性。
看个例子，考虑 $\text{C}$ 和弦，根三五音分别是 $\text{C,E,G}$，频率依次是 $f,\dfrac{81}{64}f,\dfrac{3}{2}f$，这个 $\dfrac{81}{64}f$ 就使得三音和另外两个音没有那么和谐。
在和声理论中比较重要的是 $\text{I,IV,V}$ 级音为根音的和弦，这三个音分别称为 主音、下属音、属音。为了保证以这三个音为根音的和弦的听感，在五度相生律的基础上将 $\text{III,VI,VII}$ 级音分别定义为 $\text{I,IV,V}$ 级音的频率乘上 $\dfrac{5}{4}$，就是纯律。
这样一来，$\text{C}$ 和弦的根三五音频率就分别是 $f,\dfrac{5}{4}f,\dfrac{3}{2}f$ 了。
纯律中，$\text{CDEFGAB}$ 的频率分别为 $f,\dfrac{9}{8}f,\dfrac{5}{4}f,\dfrac{4}{3}f,\dfrac{3}{2}f,\dfrac{5}{3}f,\dfrac{15}{8}f$。
纯律保证了和声的和谐，但是其缺点和五度相生律是一样的，即无法简单地转调。
十二平均律
为了方便转调，我们需要一个更加平均的律制。
我们发现一个巧合，纯五度约等于 $702$ 音分，而 $702$ 约等于 $700$，这是一个整百数。
于是，我们令原本相差纯五度的两个音的距离为 $700$ 音分，这就相当于将 $f$ 到 $2f$ 取对数后十二等分，其中七份就是一个纯五度。
于是，$\text{CDEFGAB}$ 的频率分别为 $f,2^{\frac{2}{12}}f,2^{\frac{4}{12}}f,2^{\frac{5}{12}}f,,2^{\frac{7}{12}}f,,2^{\frac{9}{12}}f,,2^{\frac{11}{12}}f$。
这样我们就可以轻松地转调，例如 $\text C$ 大调的音阶是 $\text{CDEFGABC}$，转为 $\text D$ 大调后对应音阶 $\text{DE}\sharp\text{FGAB}\sharp\text{C}$，可以直接使用原有的音名。
因此，十二平均律舍弃了一部分精确性，换来了转调的便捷性，其缺点就是和谐性不如五度相生律和纯律。
注：$\sqrt[12] 2$ 的各个幂次都很接近一个简单有理数，这是一个极其美妙的巧合，现代的音乐理论，可以说很大程度上都是建立在这一巧合之上的。