课程笔记 - General Physics II W1

场的数学描述

我们通常在 $\mathbb R^3$ 中考虑问题。

定义：

标量场（Scalar Field）：即 $\mathbb R^3$ 上标量函数 $f(x,y,z)$。

向量场（Vector Field）：即 $\mathbb R^3$ 上向量值函数 $\mathbf V(x,y,z)$。

对于一个定向曲面 $(\Sigma,\mathbf n)$，设 $\mathbf V$ 是向量场，则 $\mathbf V$ 在 $\Sigma$ 上的 通量（Flux） 定义为：

$$\int_{\Sigma} \mathbf V\cdot \mathbf n \mathrm dS=\int_{\Sigma}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf S$$

其中等式右侧是一个约定记号。

对于一个闭合定向曲线 $L$，设 $\mathbf V$ 是向量场，则 $\mathbf V$ 在 $L$ 上的 环量（Circulation） 定义为：

$$\oint_{L}\mathbf V\cdot \mathbf t\mathrm dl=\int_{L}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf l$$

其中 $\mathrm t$ 是 $L$ 的正切向量场，等式右侧是一个约定记号。

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定义 $m$ 维 $k$（微分）形式是一个形如

$$\omega =\sum_{i_1,\ldots,i_k}F_{i_1,\ldots,i_k}(x_1,\ldots,x_m)\mathrm dx_{i_1}\wedge \ldots \wedge\mathrm dx_{i_k}$$

的东西，其中 $i_1,\ldots,i_k$ 是 $1,\ldots,m$ 中不同的整数。连楔积 $dx_{i_1}\wedge \ldots \wedge\mathrm dx_{i_k}$ 满足多线性，斜对称性。由于这是普物笔记，所以先不写其具体含义了。

定义 $\omega$ 的外微分为：

$$\mathrm d\omega=\sum_{i_1,\ldots,i_k}\mathrm dF_{i_1,\ldots,i_k}(x_1,\ldots,x_m)\wedge \mathrm dx_{i_1}\wedge \ldots \wedge\mathrm dx_{i_k}$$

由于求偏导数的无序性和楔积的斜对称性，我们有 $\mathrm d(\mathrm d\omega)=0$（$F$ 都是光滑的）。

斯托克斯（Stokes）定理：$\Omega$ 是 $m$ 维空间中的 $k$ 维定向曲面，$\partial\Omega$ 是 $\Omega$ 的定向边界，这边界的方向与 $\Omega$ 的方向相协调（稍后将介绍 $m\leq 3$ 时方向的确定）。$\omega$ 是 $m$ 维 $k-1$ 形式。我们有：

$$\int_{\Omega}\mathrm d\omega =\oint_{\partial\Omega} \omega$$

具体的证明不再展开，可以看 Baby Rudin，对普物来说这个推广的结论本身可能也不太重要。

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将 Stokes 定理引入我们真正关心的 $m\leq 3$ 的情形，首先需要进行一些翻译。$0$ 形式和 $3$ 形式都可以认为是函数，即标量场，而 $1$ 形式和 $2$ 形式则是向量场。当 $m\leq 3$ 时，有如下三种非平凡的 Stokes 定理的特例。

格林（Green）公式：

Stokes 定理在 $m=2, k=2$ 时的特例。

设 $L$ 是二维平面中的闭合定向曲线，$\mathbf V$ 是向量场，$\Sigma$ 是 $L$ 的内部。

$$\oint_{L}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}\left(\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial x}-\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial y}\right)\mathrm dS$$

由于 $m=2$，可认为右侧就是个第一类曲面积分，但是实际上这是因为空间（平面）本身有个定向，所以 $L$ 的定向也要符合它，所以这里要求 $L$ 符合自然正向，即 $\Sigma$ 在 $L$ 正方向的左手侧。

（狭义上的）斯托克斯公式：

Stokes 定理在 $m=3, k=2$ 时的特例。

设 $L$ 是三维空间中的闭合定向曲线，$\mathbf V$ 是向量场，$\Sigma$ 是以 $L$ 为边界的曲面。

$$\oint_{L}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}\left(\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial y}-\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial z},\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial z}-\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial x},\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial x}-\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial y}\right)\cdot \mathrm d\mathbf S$$

这里 $\Sigma,L$ 的定向要求和格林公式相同，格林公式可以看成斯托克斯公式的特例，即 $\mathbf n=(0,0,1)$。

高斯（Gauss）公式：

Stokes 定理在 $m=3, k=3$ 时的特例。

设 $\Sigma$ 是三维空间中的二维闭合定向曲面，$\mathbf V$ 是向量场，$\Omega$ 是 $\Sigma$ 的内部。

$$\oint_{\Sigma}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf S=\int_{\Omega}\left(\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial y}+\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial z}\right)\mathrm dV$$

这里对 $\Sigma$ 也有方向要求，要符合空间的自然正向，即正法向指向外部。

我们定义：

梯度（gradient）：对于（三维）标量场 $f$，定义其梯度为

$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).$$

这是一个向量场。

旋度（curl）：对于（三维）向量场 $\mathbf V$，定义其旋度为

$$\nabla\times \mathbf V=\left(\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial y}-\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial z},\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial z}-\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial x},\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial x}-\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial y}\right).$$

这是一个向量场。

散度（divergence）：对于（三维）向量场 $\mathbf V$，定义其散度为

$$\nabla\cdot \mathbf V=\frac{\partial \mathbf V_x}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf V_y}{\partial y}+\frac{\partial \mathbf V_z}{\partial z}.$$

这是一个标量场。

可以从符号和本质来解释一下这几种运算。

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我们想象 $\nabla$ 是这样一个“向量”：$\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$，它是一个算子，接受一个标量场（函数）吐出一个向量场（梯度），记作 $\nabla f$，而如果把 $f$ 写在左边则是普通的数乘。

可以验证，旋度和散度在形式上是满足 $\nabla\times\mathbf V$ 和 $\nabla\cdot\mathbf V$ 这两个符号所表示的意义的，但不能把它看成普通的叉乘或点乘，因为它非交换，本质上是因为微分算子和函数不交换。例如 $\nabla\cdot\mathbf V\neq \mathbf V\cdot \nabla$。同时许多我们习以为常的向量运算规律有一些在这里不正确，有一些仅在直角坐标系下成立，都需要注意。

笔者目前认为，这形式只是方便记忆而已。

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本质上，$\nabla,\nabla\times,\nabla\cdot$ 是同一种运算，即外微分。

设 $f$ 对应一个 $0$ 形式，则 $\nabla f$ 对应 $f$ 的外微分，$1$ 形式。

设 $\mathbf V$ 对应一个 $1$ 形式，则 $\nabla\times\mathbf V$ 对应 $\mathbf V$ 的外微分，$2$ 形式。

设 $\mathbf V$ 对应一个 $2$ 形式，则 $\nabla\cdot\mathbf V$ 对应 $\mathbf V$ 的外微分，$3$ 形式。

这里对应的意思是：$0$ 形式和 $3$ 形式与标量场的对应是简单的，即这个函数（标量场）就是微分形式中唯一一项的系数。向量场对应到 $1$ 形式时三维分别对应到 $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$ 的系数；向量场对应到 $2$ 形式时三维分别对应到 $\mathrm dy\wedge \mathrm dz,\mathrm dz\wedge \mathrm dx,\mathrm dx\wedge \mathrm dy$ 的系数。

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斯托克斯公式告诉我们，计算向量场的环量可以转化为计算其旋度在曲面上的积分；高斯公式告诉我们，计算向量场的通量可以转化为计算其散度在一个空间区域内的积分。

$$\oint_{L}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}(\nabla\times\mathbf V)\cdot \mathrm d\mathbf S$$ $$\oint_{\Sigma}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf S=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot \mathbf V\right)\mathrm dV$$

根据 $\mathrm d(\mathrm d\omega)=0$，我们可以得到：

$$\nabla\times (\nabla f)=\mathbf 0,\quad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf V)=0.$$

即梯度场无旋，旋度场无散。逆命题通常也是对的：无旋的场可以写作一个梯度（称为保守场），无散的场可以写作一个旋度。注意“通常”，可以认为是在普物课上它都是对的。但是在非单连通区域上，上述逆命题可能是错误的（比如可以在 $\mathbb R^2-\{0\}$ 中构造一个反例，忘了具体是啥了）。

定义 Laplace 算子：

$$\Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f)=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)$$

若 $\Delta f=0$，称 $f$ 是调和的。

最后以一个例子收尾：

对于闭合曲线 $L$，考虑一个以它为边界的曲面 $\Sigma$，根据斯托克斯公式：

$$\oint_{L}\mathbf V\cdot \mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}(\nabla\times\mathbf V)\cdot \mathrm d\mathbf S$$

现在考虑让 $L$ 不断缩小，此时等式左侧显然趋于 $0$，而右侧的曲面 $\Sigma$ 将趋于一个闭合曲面。两边取极限（不太严谨），再用 Gauss 定理：

$$0=\oint_{\Sigma}\mathbf (\nabla\times\mathbf V)\cdot \mathrm d\mathbf S=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot (\nabla\times\mathbf V)\right)\mathrm dV$$

但 $\Omega$ 事实上是任意的，所以这可以作为另一个 $(\nabla\cdot (\nabla\times\mathbf V))=0$ 的证明。

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参考资料：

普通物理 II 原课件.

WXF, 微积分 A (2) 第 217,219,220 讲课件.

Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (Chap. 10).