科普文章 - 正轴圆柱投影

正轴圆柱投影

本篇文章不是很严谨和规范。

我们想要绘制一张世界地图，在这里我们将地球视为球。

我们可以采取如下方式：放置一个（可能无限高的）圆柱面，它与球在赤道处相切，然后构造一个从球面到圆柱面的映射 $f$，最后选一条平行旋转轴的直线将圆柱面展开，就得到了平面地图。

一般情况下，我们会选择将每条纬线映射到圆柱面上平行于赤道的圆上，每条经线映射到平行于旋转轴的直线上，这就称为正轴圆柱投影。

设球半径为 $R$，用经度 $\alpha$ 和纬度 $\beta$ 来描述球面上一个点，（此处与常规可能不同）西经为负，东经为正，南纬为负，北纬为正，$\alpha\in (-\pi,\pi], \beta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。

用 $x,y$ 描述圆柱面上一个点，$x$ 为赤道平面方向，以 $0$ 度经线为零点，西经为负，东经为正；$y$ 为垂直赤道平面方向，以赤道为零点，南纬为负，北纬为正。因此 $x\in (-\pi R,\pi R], y\in \mathbb R$。

一个正轴圆柱投影可以表述成 $(\alpha,\beta)$ 到 $(x,y)$ 的映射：

$$\begin{cases}x=R\alpha \\y=y(\beta)\end{cases}$$

不同的投影方式就是因为 $y(\beta)$ 的选择而拥有不同的性质的。

注意到经线和纬线这一对正交方向在投影后仍然正交，所以我们可以试求出这组始终正交的方向上的一组正交基，我们关心这组正交基的长度。

考虑点 $(\alpha_0,\beta_0)$，设 $\alpha_0$ 经线为 $\mathbf A(\beta)$，$\beta_0$ 纬线为 $\mathbf B(\alpha)$，则：

$$\begin{aligned} \mathbf A(\beta) & =(R\cos \beta\cos \alpha_0,R\cos \beta\sin \alpha_0,R\sin \beta) \\ \left\Vert \dfrac{\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d\beta}(\beta_0)\right\Vert & =R\Vert(-\sin\beta_0\cos\alpha_0,-\sin\beta_0\cos\alpha_0,\cos\beta_0)\Vert=R\\ \mathbf B(\alpha) & =(R\cos \beta_0\cos \alpha,R\cos \beta_0\sin \alpha,R\sin \beta_0) \\ \left\Vert \dfrac{\mathrm d\mathbf B}{\mathrm d\alpha}(\alpha_0)\right\Vert & =R\Vert(-\cos\beta_0\sin\alpha_0,\cos\beta_0\cos\alpha_0,0)\Vert=R\cos \beta_0\\ \left\Vert \dfrac{\partial(x,y)}{\partial \alpha}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert &=\Vert(R,0)\Vert=R\\ \left\Vert \dfrac{\partial(x,y)}{\partial \beta}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert &=\Vert(0,y'(\beta_0))\Vert=y'(\beta_0) \end{aligned}$$

其中，$\left\{\dfrac{\mathrm d\mathbf B}{\mathrm d\alpha}(\alpha_0),\dfrac{\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d\beta}(\beta_0)\right\}$ 是球面上 $(\alpha_0,\beta_0)$ 处的一组正交基，它被投影后成为圆柱面上对应点处的正交基 $\left\{\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \alpha}(\alpha_0,\beta_0),\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \beta}(\alpha_0,\beta_0)\right\}$。

下面介绍几种正轴圆柱投影。

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中心透视投影

从球心引射线，射线穿过的球上的点被映射到射线穿过的圆柱面上的点。

除了南北极点外，所有点都可以被映射到无限高的圆柱上。

通过简单的几何关系知：

$$\begin{aligned} y(\beta) &=R\tan\beta\\ y'(\beta) &=R\sec^2\beta \end{aligned}$$

保角投影

也叫 Mercator 投影，满足任何球面角等于映射后的平面角。

考虑角度的定义，曲线 $\mathbf P(t),\mathbf Q(t)$ 交于 $\mathbf P(0)=\mathbf Q(0)$，则夹角定义为：

$$\arccos\left(\dfrac{\mathbf P'(0)\cdot \mathbf Q'(0)}{\Vert \mathbf P'(0)\Vert\Vert \mathbf Q'(0)\Vert}\right)$$

因此只要一对标准正交基被映射到标准正交基，那么角度就保持不变。即：

$$\dfrac{\left\Vert\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \alpha}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert}{\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf B}{\mathrm d\alpha}(\alpha_0)\right\Vert}=\dfrac{\left\Vert\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \beta}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert}{\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d\beta}(\beta_0)\right\Vert}$$

解得：

$$\begin{aligned} y'(\beta) &=R\sec\beta\\ y(\beta) &=R\ln(\sec\beta+\tan\beta) \end{aligned}$$

保面积投影

球面上的一块面积与映射后的面积成固定比例。

类似地：

$$\left\Vert\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \alpha}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert\times \left\Vert\dfrac{\partial(x,y)}{\partial \beta}(\alpha_0,\beta_0)\right\Vert=\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf B}{\mathrm d\alpha}(\alpha_0)\right\Vert\times \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d\beta}(\beta_0)\right\Vert$$

解得：

$$\begin{aligned} y'(\beta) &=R\cos\beta\\ y(\beta) &=R\sin\beta \end{aligned}$$

保距投影

球面距离与映射后的距离成固定比例。

这不可能实现。

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WXF 课件写的感觉是错的！！Mercator 投影不是中心透视投影。